*** Réductions aléatoires au supermarché

Pour attirer des clients, un supermarché a mis en place un jeu : tout client qui adhère au programme de fidélité pioche au hasard un mois de l'année. Le supermarché lui accordera alors une réduction de \(5 ~\%\) sur ses courses réalisées lors du \(31^\text{e}\) jour du mois tiré, lorsqu'il y en a bien \(31\). Si le mois tiré compte moins de \(31\) jours, le client ne bénéficiera d'aucune réduction. Cette expérience est renouvelée trois ans de suite.

1. Quelle est la probabilité d'obtenir une réduction trois ans de suite ?
2. Représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
3. Calculer la probabilité d'obtenir au moins \(1\) réduction.
4. Soit \(X\) la variable aléatoire qui à toute succession de trois tirages associe le nombre de réductions obtenues. Calculer l'espérance de la variable aléatoire \(X\) et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.